Hiyerarşik Linear Modelleme (HLM): Varsayımlar

Merhaba,  bugün sizlerle, özellikle sosyal bilimler, eğitim, psikoloji ve benzeri alanlarda sıkça karşılaştığımız Hiyerarşik Lineer Modeller (HLM) hakkında konuşmak istiyorum. HLM, verilerin doğasında bulunan hiyerarşik yapıyı (örneğin, öğrencilerin sınıflara veya okullara gruplandığı durumlar) analiz etmek için kullanılan güçlü bir istatistiksel yöntemdir. Bir diğer anlatımla HLM, iki veya daha fazla hiyerarşik düzeye sahip veriler için kullanılan bir istatistiksel modeldir. Örneğin:

Düzey-1 (Öğrenciler): Öğrencilerin bireysel özellikleri (matematik başarısı, sosyoekonomik durum vb.).

Düzey-2 (Okullar): Okul bazlı değişkenler (okul büyüklüğü, öğretmen deneyimi vb.).

Bu modelleri doğru bir şekilde uygulayabilmek için bazı temel varsayımları anlamak ve bunlara dikkat etmek gerekiyor. Bu yazıda, HLM’nin arkasındaki temel varsayımları basit bir dille açıklamaya çalışacağım. Amacım, bu konuya yeni başlayanlar veya istatistiksel modellerle biraz haşır neşir olanlar için anlaşılır bir rehber sunmak. HLM’nin neden önemli olduğunu, hangi durumlarda kullanıldığını ve bu modellerin geçerli sonuçlar üretebilmesi için nelere dikkat etmemiz gerektiğini diğer yazılarda adım adım ele alacağız. Bu yazının konusunu HLM’de varsayımların test edilmesi.

Eğer verileriniz hiyerarşik bir yapıya sahipse (örneğin, öğrenciler okullara, hastalar hastanelere veya çalışanlar şirketlere gruplanmışsa), HLM tam size göre olabilir. Ancak unutmayalım, her istatistiksel yöntem gibi HLM’nin de belirli varsayımları var ve bu varsayımların ihlali, yanlış sonuçlara yol açabilir. Şimdi, HLM’nin başlıca varsayımlarını ve bu varsayımları nasıl kontrol edebileceğimizi adım adım inceleyelim. Öncelikle HLM’nin varsayımlarının neler olduğunu listeleyelim.

HLM Varsayımları

• Düzey-1 hata terimleri normal dağılmalıdır.
• Düzey-1 hata terimlerinin ortalaması sıfır olmalıdır.
• Düzey-1 bağımsız değişkenleri, Düzey-1 hata terimleriyle bağımsız olmalıdır.
• Düzey-2 hata terimleri çok değişkenli normal dağılım göstermelidir.
• Düzey-2 bağımsız değişkenleri, Düzey-2 hata terimleriyle bağımsız olmalıdır.
• Düzey-1 ve Düzey-2 hata terimleri bağımsız olmalıdır.
• Bağımsız değişkenler, rastgele etkilerle ilişkili olmamalıdır.

Şimdi bu varsayımların neler olduğunu tek tek kısaca açıklayalım ve hangi yollarla inceleyebileceğinize ilişkin öneriler sunalım.

Varsayımlar, Açıklamaları ve Öneriler:

Düzey-1 hata terimleri normal dağılmalıdır.

Öğrenciler (Düzey-1) arasındaki hata terimleri normal dağılım göstermelidir. Örneğin matematik başarı puanı için tahmin edilen modelde, bir öğrencinin modelden sapmasının (hatasının) normal dağılması gerekir. Eğer hatalar normal değilse, model yanlış sonuçlar üretebilir.

📌 Nasıl test edilir?

• Histogram ve QQ-Plot kullanılarak incelenebilir.
• Shapiro-Wilk veya Kolmogorov-Smirnov testleri uygulanabilir.

SPSS:

• 1. HLM analizi yapıldıktan sonra, modelin residuals (artık değerleri) kaydedilir.
  2. Analyze > Descriptive Statistics > Explore yoluyla artık değerlerin histogramını ve Q-Q plot grafiğini oluşturabilirsiniz.
  3. Shapiro-Wilk testi veya Kolmogorov-Smirnov testi uygulanarak normalliği kontrol edebilirsiniz.

HLM Programında:

• • Level-1 residuals (hata terimleri) çıkarılır ve histogram veya Q-Q plot ile incelenir.

✅ Hata terimlerinin dağılımı çan eğrisi şeklinde olmalıdır.

Düzey-1 hata terimlerinin ortalaması sıfır olmalıdır.

Her öğrenci için modelden kaynaklanan hatalar ortalama olarak sıfıra yakın olmalıdır. Örneğin eğer model sürekli olarak öğrencilerin gerçek puanlarını olduğundan daha yüksek veya düşük tahmin ediyorsa, bu varsayım ihlal edilmiş olabilir.

📌 Nasıl test edilir?

• Modelin tahmin edilen hatalarının (residuals) ortalaması kontrol edilir.
• Ortalama sıfırdan farklıysa, modelde bir sistematik hata olabilir.

SPSS:

• 1. HLM modelini oluşturduktan sonra Analyze > Descriptive Statistics > Descriptives seçeneğini kullanarak artık değerlerin (residuals) ortalamasını hesapla.
  2. Ortalama değerin sıfıra yakın olup olmadığını kontrol et.

HLM Programında:

• • Hata terimleri kaydedildikten sonra ortalamaları incelenir.

✅ Hata terimlerinin ortalaması 0’a çok yakın olmalıdır (-0.01 veya 0.02 gibi küçük sapmalar olabilir).

Düzey-1 bağımsız değişkenleri, Düzey-1 hata terimleriyle bağımsız olmalıdır.

Öğrenci düzeyindeki bağımsız değişkenler (örneğin öğrencinin sosyoekonomik durumu), modeldeki hata terimleriyle ilişkisiz olmalıdır. Örneğin eğer düşük sosyoekonomik duruma sahip öğrenciler için modelin hataları hep pozitif çıkıyorsa, bu varsayım ihlal edilmiş olabilir.

📌 Nasıl test edilir?

• Hatalar (residuals) bağımsız değişkenlere göre görselleştirilir (örneğin, hata terimlerine karşı bağımsız değişkenlerin dağılım grafiği çizilir).

SPSS:

• 1. Hata terimleri ile bağımsız değişkenler arasındaki korelasyonu hesapla.
     • Analyze > Correlate > Bivariate menüsünden hata terimleri ile bağımsız değişkenler arasındaki korelasyonları hesapla.
  2. Korelasyon istatistiksel olarak anlamlı çıkmamalıdır.

HLM Programında:

• • Hata terimleri bağımsız değişkenlerle karşılaştırılır ve ilişkileri incelenir.

✅ Korelasyon ∣r∣<0.10 olmalıdır. (Yüksek korelasyon model hatasına işaret eder.)

Düzey-2 hata terimleri çok değişkenli normal dağılım göstermelidir.

Okul düzeyindeki hata terimlerinin çok değişkenli normal dağılıma sahip olması gerekir. Örneğin okullar arasında modelin tahmin hataları normal dağılmalıdır. Eğer bazı okulların hata terimleri sistematik olarak çok büyük ya da çok küçükse, bu varsayım ihlal edilmiş olabilir.

📌 Nasıl test edilir?

• Mahalanobis uzaklığı testi uygulanabilir.
• Çok değişkenli normallik testi (Mardia’nın testleri vb.) kullanılabilir.

SPSS:

• 1. Düzey-2 artık değerlerini kaydet (örneğin, okul bazında hata terimleri).
  2. Q-Q Plot ve Histogram ile görselleştir.
  3. Mardia’nın Çoklu Normallik Testi veya Mahalanobis uzaklığı kullanılarak normalliği kontrol et.

HLM Programında:

• • Level-2 residuals çıkartılır ve çok değişkenli normallik testi yapılır.

✅ Düzey-2 hata terimleri çok değişkenli normal dağılım göstermelidir. Normallik sağlanmazsa, dönüşümler (log, karekök vb.) denenebilir.

Düzey-2 bağımsız değişkenleri, Düzey-2 hata terimleriyle bağımsız olmalıdır.

Okul düzeyindeki bağımsız değişkenler (örneğin öğretmen deneyimi, okul büyüklüğü), hata terimleriyle ilişkili olmamalıdır. Örneğin eğer öğretmen deneyimi yüksek olan okullar için model hataları sürekli negatif çıkıyorsa, bu varsayım ihlal edilmiş olabilir.

📌 Nasıl test edilir?

Hata terimleri ile bağımsız değişkenler arasındaki korelasyon hesaplanabilir.

SPSS:

• 1. Analyze > Correlate > Bivariate seçeneği ile bağımsız değişkenler ile Düzey-2 hata terimleri arasındaki korelasyonu hesapla.
  2. Korelasyon anlamlı çıkmamalıdır.

HLM Programında:

• • Modelde Düzey-2 bağımsız değişkenleri ile hata terimleri arasındaki ilişkiyi test et.

✅ Korelasyon ∣r∣<0.10 olmalıdır.

Düzey-1 ve Düzey-2 hata terimleri bağımsız olmalıdır.

Öğrenci seviyesindeki hatalar (Düzey-1) ile okul seviyesindeki hatalar (Düzey-2) arasında bir ilişki olmamalıdır. Örneğin eğer bir okulda modelin öğrenciler için yaptığı hatalar sürekli aynı yönde sapıyorsa, okul bazındaki hatalarla öğrenci bazındaki hatalar ilişkilidir ve bu varsayım ihlal edilir.

📌 Nasıl test edilir?

Modelin hata terimlerinin (okul bazında gruplanarak) bağımsız olup olmadığı incelenir.

SPSS:

• 1. Hata terimlerinin grup bazında ortalamalarını hesapla.
     • Düzey-1 hata terimleri (öğrenci seviyesi) ve Düzey-2 hata terimleri (okul seviyesi) arasındaki ilişkiyi incele.
  2. Analyze > Correlate > Bivariate seçeneği ile hata terimleri arasındaki korelasyonu hesapla.

HLM Programında:

• • Düzey-1 ve Düzey-2 hata bileşenleri arasında anlamlı bir ilişki olup olmadığını kontrol et.

✅ Düzey-1 ve Düzey-2 hata terimleri arasında istatistiksel olarak anlamlı bir korelasyon olmamalıdır.

Bağımsız değişkenler, rastgele etkilerle ilişkili olmamalıdır.

Modeldeki bağımsız değişkenler, rastgele etkilerle ilişkisiz olmalıdır. Yani, okulların rastgele etkileri (random effects) bağımsız değişkenlerden etkilenmemelidir. Örneğin öğretmen deneyimi (bağımsız değişken) ile okulların rastgele kesme noktaları (random intercepts) arasında bir ilişki varsa, bu varsayım ihlal edilir.

📌 Nasıl test edilir?

• Rastgele etkiler ile bağımsız değişkenler arasındaki korelasyon kontrol edilir.

SPSS:

• 1. Bağımsız değişkenlerle rastgele etkiler arasındaki korelasyonları test et.
  2. Bağımsız değişkenler ile rastgele katsayılar arasındaki ilişkileri test etmek için etkileşim (interaction) modeli oluştur.

HLM Programında:

• • Rastgele etkilerin bağımsız değişkenlerle anlamlı olup olmadığı kontrol edilir.
  • Rastgele değişkenlerin bağımsız değişkenlerle ilişkili olması, modelde “seçkisiz olmayan varyans” olduğunu gösterebilir.

✅Bağımsız değişkenlerle rastgele etkiler arasındaki ilişki anlamlı olmamalıdır.

 

Bazı durumlarda araştırmacılar bu varsayımların test edilmesinde HLM’den önce veya sonra yapılması konusunda kafa karışıklığı yaşayabiliyorlar.  Şimdi de bu varsayımlar HLM analizinden önce ve sonra test etmeye göre sınıflandıralım.

 

Aşama 1: Modeli Kurmadan Önce Yapılması Gereken Varsayım Kontrolleri

Bu aşama, verinin modellemeye uygun olup olmadığını anlamanı sağlar.

1️. Bağımsız Değişkenler Arasında Çoklu Bağlantı (Multicollinearity) Kontrolü

Eğer bağımsız değişkenler birbirine çok güçlü bir şekilde bağlıysa (VIF > 10), model yanlış sonuçlar verebilir.

• SPSS: Analyze > Regression > Linear > Statistics > Collinearity Diagnostics seçeneğini kullan.
• VIF (Varyans Şişirme Faktörü) < 10 olmalıdır.

2️. Düzey-1 Bağımsız Değişkenlerinin Sürekliliği

Sürekli değişkenler genellikle HLM için daha uygundur; kategorik değişkenler için dönüşümler gerekebilir.

• Frekans tabloları ve histogramlarla değişkenlerin dağılımını kontrol et.
• Eğer kategorik değişken varsa dummy kodlama (0-1) veya grand-mean centering yap.

3️. Düzey-2 Bağımsız Değişkenlerinin Gruplar Arasında Değişkenlik Gösterip Göstermediği

Eğer Düzey-2 değişkenleri varyans göstermiyorsa, HLM’de anlamlı sonuçlar üretmeyebilir.

• SPSS: Analyze > Compare Means > Means ile gruplara göre ortalamaları karşılaştır.
• ANOVA ile okullar arasında anlamlı fark olup olmadığını kontrol et.

Aşama 2: Model Kurulduktan Sonra Yapılması Gereken Varsayım Testleri

Bu aşamada, modelin varsayımları sağlayıp sağlamadığını kontrol edersin.

1️. Hata Terimlerinin Normal Dağılım Gösterdiğini Kontrol Et: Modelin hata terimleri normal dağılmazsa, p-değerleri yanıltıcı olabilir.

2️. Hata Terimlerinin Ortalamasının Sıfır Olup Olmadığını Test Et: Eğer hata terimlerinin ortalaması sıfırdan farklıysa, model sistematik hata üretiyor olabilir.

3️. Hata Terimleri ile Bağımsız Değişkenler Arasında Korelasyon Olmadığını Kontrol Et: Eğer bağımsız değişkenler ile hata terimleri arasında ilişki varsa, modelde sistematik bir hata olabilir.

4️. Düzey-1 ve Düzey-2 Hata Terimlerinin Bağımsızlığını Test Et: Eğer Düzey-1 ve Düzey-2 hata terimleri ilişkilidir, model hatalı olabilir.

5️. Rastgele Etkilerle Bağımsız Değişkenler Arasında İlişki Olmadığını Kontrol Et: Eğer bağımsız değişkenler rastgele etkilerle ilişkiliyse, model yanlış varsayımlara dayanıyor olabilir.

Doç. Dr. Fatma Betül KURNAZ

“Gözden geçirilmemiş, V0”